O número $\pi$ é a constante matemática mais famosa do mundo, pois ocupa um lugar central na Matemática desde a Antiguidade. Apesar de outras civilizações fazerem referência ao $\pi$, a primeira tentativa científica de calcular $\pi$ foi feita por Arquimedes (287 aC - 212 aC).
Ao longo da história, inúmeros método foram desenvolvidos para calcular aproximações cada vez mais precisas de $\pi$, desde construções geométricas até séries infinitas.
Atualmente, a forma mais eficiente de calcular $\pi$ é através do Algoritmo de Chudnovsky, responsável pelos últimos recordes históricos no cálculo de casas decimais de $\pi$. Sua eficiência é extraordinária. Para cada novo termo da série adiciona aproximadamente 14 dígitos corretos de $\pi$. Em novembro de 2025, a equipe de StorageReview atingiu a marca de 314 trilhões de casas decimais.
Origem e desenvolvimento
O algoritmo de Chudnovsky foi desenvolvido em 1989 pelos irmãos David e Gregory Chudnovsky, não para quebrar recordes, mas porque estavam profundamente interessados na natureza teórica de $\pi$ e se o número continha padrões ocultos.
Eles refinaram fórmulas desenvolvidas anteriormente pelo matemático indiano Srinivasa Ramanujan. No início do século XX, Ramanujan descobriu séries infinitas que convergiam para $1/\pi$ de forma incrivelmente rápida. Os irmãos Chudnovsky utilizaram propriedades de formas modulares e funções elípticas para criar uma variação ainda mais eficiente.
Em setembro de 1989, eles usaram seu algoritmo para calcular 1 bilhão de dígitos de $\pi$ (1.011.196.691 dígitos), um marco histórico na época, utilizando um supercomputador IBM 3090.
A importância do algoritmo
O algoritmo de Chudnovsky é importante por três pontos principais:
- Convergência hipergeométrica: Enquanto métodos antigos (como o método da exaustão utilizado por Arquimedes), levavam muitas iterações para cada dígito, o método de Chudnovsky entrea em torno de 14 novos dígitos corretos por iteração.
- Eficiência de memória: Diferente de algoritmos iterativos como o de Gauss-Legendre (que exige manter todo o número na memória o tempo todo), a série de Chudnovsky pode ser calculada termo a termo ou em blocos, facilitando o uso de armazenamento em disco.
- Benchmark de harware: Hoje, calcular $\pi$ com este algoritmo serve para testar a estabilidade e a velocidade de novos processadores e sistemas de memória. Se um computador consegue rodar o algoritmo por dias sem errar um único bit em trilhões de cálculos, ele é considerado extremamente confiável.
A fórmula de Chudnovsky
A fórmula completa é um pouco intimidadora, mas temos que levar em consideração que não foi criada para cálculos manuais, mas para supercomputadores.
Podemos reescrevê-la fatorando a constante, o que facilitará (um pouco) os cálculos manuais:
Para fins didáticos, como faremos cálculos manuais, vamos chamar cada etapa do somatório de $a_k$:
Assim, conseguimos calcular separadamente cada etapa ($a_0$, $a_1$, $\cdots$) e entender o que acontece com a fórmula. Em seguida, vamos somar $a_0$ e $a_1$ e, por fim, multiplicar pela constante que aparece ao lado esquerdo do somatório e ver o quão nos aproximamos de $\pi$.
Cálculo de $a_0$:
Vamos calcular o primeiro termo do somatório $a_0$, fazendo $k=0$. Na prática, substituímos por $0$ onde aparece $k$:
- $(-1)^k = (-1)^0 = 1$
- $(6k)! = (6 \times 0 )! = 1$
- $545.140.134\ k = 545.140.134 \times 0 = 0$
- $(3k)! = (3 \times 0)! = 1$
- $(k!)^3 = (0!)^3 = 1$
- $(640.320)^{3k} = (640.320)^{3 \cdot 0}=1$
Inserindo esses dados no lado direito do somatório da fórmula, calculamos $a_0$:
$$ a_0 = \frac{1 \times 1 \times (13.591.409)}{1 \times 1 \times 1}\\ \ \\ a_0 = 13.591.409 $$Antes de calcular $a_1$, vamos inserir $a_0$ na fórmula e ver o quão nos aproximamos de $\pi$ com apenas uma iteração:
$$ \frac{1}{\pi} = \frac{12}{640.320^{3/2}} \cdot a_0 $$Calculando o valor de $640.320^{3/2}$ utilizando a calculadora do Window 11, tomando apenas 3 casas decimais, obtemos: $640.320^{3/2} \approx 512.384.047,996$:
$$ \frac{1}{\pi} \approx \frac{12 \times 13591409}{512.384.047,996}\\ \ \\ \frac{1}{\pi} \approx \frac{163.096.908}{512.384.047,996}\\ $$Invertemos esse valor para encontrar uma aproximação de $\pi$:
Se compararmos com o valor de $\pi$:
Obtemos uma precisão de 13 casas decimais apenas com a primeira iteração, mostrando que a convergência da fórmula é realemnte extraordinária.
Cálculo de $a_1$:
Vamos calcular agora o segundo termo do somatório $a_1$, fazendo $k=1$:
- $(-1)^k = (-1)^1 = -1$
- $(6k)! = (6 \times 1 )! = 720$
- $545.140.134\ k = 545.140.134 \times 1 = 545.140.134$
- $(3k)! = (3 \times 1)! = 6$
- $(k!)^3 = (1!)^3 = 1$
- $(640320)^{3k} = (640320)^{3 \times 1} = 262.537.412.640.768.000$
Inserindo esses dados no lado direito do somatório da fórmula, calculamos $a_1$:
Para calcularmos a aproximaçao de $\pi$ utilizando 2 iterações, aplicamos $a_0$ e $a_1$ na fórmula:
Se compararmos com o valor de $\pi$ com 30 casas decimais:
Obtemos uma precisão de 27 casas decimais apenas com duas iterações!
Analisando os termos da fórmula
O termo independente $\dfrac{12}{640.320^{3/2}}$ não depende do índice da soma e atua como um fator de normalização.
O somatório $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}$ é uma série infinita indexada por $k \in \mathbb{N}$, ou seja, $k$ varia de zero a infinito em todos os termos da fórmula que aparece imediatamente à direita do somatório. Quanto mais etapas $k$ forem realizadas, maior a precisão de $\pi$.
O termos de alternância é o $(-1)^k$, faz com que os sinais dos termos da série se alternem a cada etapa $k$, ora positivo, ora negativo. Essa alternância ajuda a refinar o valor, aproximando-se do alvo por cima e por baixo, garantindo que o erro diminua a cada etapa.
O fatorial de ordem $(6k)!$ cresce extremamtente rápido, mas é compensado pelos termos que aparecem no denominador, criando uma supressão dos termos para valores grandes de $k$. Aparece naturalemnte em séries hipergeométricas asociadas a funções modulares.
O fator linear $13.591.409 + 545.140.134\ k$ é um polinômio de primeiro grau. Faz um ajuste fino a cada termo da série, garantindo a convergência para o valor de $\pi$.
O fatorial $(3k)!$ que aparece no denominador atua como um contrapes ao crescimento de $(6k)!$.
O termo $(k!)^3$ introduz uma estrutura simétrica no denominador, refletindo o caráter combinatóri da série:
$$ \frac{(6k)!}{(3k)!(k!)^3} $$O fator exponencial $640.320^{3k}$ é o principal responsável pela velocidade da convergência da série, adicionando cerca de 14 casas decimais corretas a cada etapa. Para cada incremento de $k$, o denominador é multiplicado por:
$$ 640.320^3 = 262.537.412.640.768.000 \approx 2,62 \times 10^{17} $$Somente esse fator introduz uma divisão por $2,62 \times 10^{17}$, no entanto, a relação entre os fatoriais "retornam" cerca de 3 ordens de grandeza, tendo o saldo final próximo de $10^{-14}$ e não $10^{-17}$.
Calculadora
Algoritmo de Chudnovsky
Cada iteração $k$ gera aproximadamente $14$ casas decimais.
O Baricentro da Mente
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